De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs - Page 1 - test Tous nos livres sont imprimés dans les règles environnementales les plus strictes Il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement la présente publication sans autorisation du Centre Français d’exploitation du droit de Copie (CFC) – 20 rue des GrandsAugustins – 75006 PARIS – Tél. : 01 44 07 47 70 / Fax : 01 46 34 67 19. © Éditions Edilivre – Collection Universitaire – 2009 ISBN : 978-2-8121-0795-5 Dépôt légal : Mai 2009 Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction, intégrale ou partielle réservés pour tous pays. Iranete LIMA De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs Étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale Thèse Directeurs de recherche: M. Nicolas BALACHEFF - Directeur de Recherche au CNRS Mme Jana TRGALOVÁ - Maitre de Conférence à l'IUFM de LYON Editions EDILIVRE APARIS Collection Universitaire 75008 Paris - 2009 Merci… … à M. Nicolas Balacheff, mon directeur de thèse, pour m’avoir accueillie au sein du Laboratoire Leibniz, pour m’avoir encadrée dans cette recherche, pour ses suggestions pertinentes qui m’ont conduite à l’accomplissement de ce travail. … à Mme Jana Trgalová qui a eu le courage d’entrer dans cette aventure en acceptant la codirection de ce travail depuis ma troisième année de thèse. Merci pour ses sages conseils et pour ses mots d’encouragement, pour toutes nos discutions passionnées autour de l’objet de recherche, pour la relecture des textes, et surtout pour son amitié. … à Mme Paula Baltar Bellemain d’avoir accepté d’être rapporteur de cette thèse. … à Mme Claire Margolinas d’avoir accepté d’être rapporteur de cette thèse et pour l’intérêt manifesté envers ce travail. Merci encore pour les échanges à propos du modèle des niveaux de l’activité de professeurs et ses conseils avisés. … à Mme Colette Laborde d’avoir accepté d’être présidente du Jury et également pour tous les « bon courage ! » que j’ai entendus au cours de ces années. Ces simples mots d’encouragement ont été fondamentaux pour surmonter les moments les plus difficiles. … à Mme Perrin-Glorian de s’être rendue disponible en acceptant de participer du jury. … à toute l’Équipe Did@TIC pour son accueil. Merci à Marie-Caroline Croset et aux jeunes docteurs Takeshi Miyakawa et Salahattin Arslan, avec qui j’ai eu le plaisir de discuter de Didactique des Mathématiques et aussi de partager des moments très agréables. Merci également à tout le personnel du Laboratoire Leibniz pour leur disponibilité. … à l’Équipe IAM, en particulier Sylvia Coutat, Tristan Blanc-Brude, Rossana Falcade, Christophe Foucher, Armando Landa, Julio Moreno, Angela Restrepo, Ruth Rodriguez, Sophie Soury-Lavergne, Seden Tapan et Zilora Zouaoui. C'est une circonstance merveilleuse qui m'a permis de me joindre à vous. Merci pour tous les moments inoubliables que nous avons vécus ensemble. Un merci très spécial à Sylvia pour m’avoir accueillie chez elle après le retour de ma famille au Brésil. Sa solidarité, sa bonne humeur et son amitié ont été très importantes pour l’achèvement de ce travail dans des bonnes conditions. … à tous les membres de la Chorale Orféo avec qui j’ai eu l’honneur de partager des moments d’émerveillement et de bonheur en chantant de la musique brésilienne. Je garderai des belles images qui jamais ne s’effaceront de mon cœur. Merci à Joëlle Birebent qui m’a montré le chemin et à Monica Alfaya qui m’a invitée à faire partie de ce groupe magnifique. Un merci spécial à Odile Moreau pour son accueil chez elle durant mes derniers jours en France et principalement, pour son amitié et son affection. … à tous les professeurs participants des expérimentations, ainsi qu’aux élèves des collèges « Cité Scolaire Internationale » de Grenoble et « Charles Munch » d’être rentrés dans le jeu. … à Mme Denise Grenier, Mme Maria Alessandra Mariotti, Mme Annie Bessot, M. Alain Birebent et M. Bernard Capponi pour leurs contributions et conseils. … à Mireille Dupraz pour sa gentillesse et d’avoir relu une partie de ce texte, et aussi pour son aide dans l’organisation du manuscrit. … à Mme Ariane Jamet pour s’être prêtée aux relectures attentives et soigneuses des textes, ainsi que pour son amabilité. … à Mme Ezilda Loiseau pour m’avoir accueillie dans son atelier, pour l’apprentissage de la langue française. … à tous mes collègues brésiliens qui se trouvaient à Grenoble. Les rencontres fréquentes et chaleureuses ont quelque peu réduit la distance entre le Brésil et la France. Un merci particulier à « ma petite sœur » Patricia Jaques Maillard et à Nicolas Maillard, à Carla et Tetsu Koike, à Maurício et Edicársia Pillon et à Carine Webber. … à Alain, Nicole et Sandrine Barré pour tous les moments magnifiques qu’on a vécus ensemble, pour avoir accueilli ma famille comme si elle faisait partie de la leur et aussi pour nous avoir donné le plaisir de connaître et de savourer la merveilleuse cuisine française. … à tous mes professeurs de Mestrado à l’UFPE – Universidade Federal de Pernambuco – qui m’ont motivée pour réaliser ce doctorat à Grenoble. Une pensée particulière à Verônica Gitirana, Paulo Figueiredo, Lícia Maia et Marcelo Câmara. … au gouvernement brésilien à travers le CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – pour l’allocation d’une bourse d’études qui m’a permis de développer cette thèse. Merci à Mme Elza Pires et M. Josenilson Araújo pour leur gentillesse et leur disponibilité. … à mes parents, Severino et Amélia, à mon frère Izaías et à mon amie Marta, qui malgré la distance, ont toujours su trouver les moyens et les mots pour me soutenir pendant ces années de thèse. … à mes enfants, Daniel Vitor et Mariana, d’avoir « embarqué » inconditionnellement avec moi dans ce rêve. Merci d’avoir accepté mes absences constantes et de m’avoir toujours encouragée avec un mot tendre, un sourire et beaucoup d’amour. Vous serez toujours ma principale source de courage et d’inspiration. … à mon mari, Daniel, pour son amour, sa complicité, son amitié, sa confiance et son soutien pendant tout ce parcours. Merci encore pour toutes les fois où tu as joué le double rôle de père et mère. Ce doctorat n’appartient pas uniquement à moi, il appartient à toi aussi. Ce travail n'est pas seulement le mien, mais aussi un peu celui de tous ceux qui en ont partagé les bons et les rares mauvais moments. Un grand merci, et à un de ces jours au Brésil ou en France ! Résumé Cette recherche s’inscrit dans la problématique de l’étude de prises de décisions didactiques. Notre principal intérêt est d’étudier la façon dont les professeurs prennent les décisions didactiques afin de faire avancer les élèves vers l’apprentissage d’une connaissance visée, et les éléments qui influencent ces décisions. Ceci nous a amené dans un premier temps à modéliser les connaissances des élèves concernant un objet mathématique donné, la symétrie orthogonale. En nous appuyant sur la formalisation proposée par le modèle cK¢ (Balacheff, 1995) au sein de la Théorie des Situations Didactiques, nous avons fait le choix d’entrer dans la modélisation des conceptions d’élèves sur la notion de symétrie orthogonale, à partir de l’identification de la structure de contrôle des conceptions. En partant de l’hypothèse que les contrôles rendent compte des critères qui renvoient au choix, à la décision, à l’adéquation et à la validité d’une action, nous avons réalisé une étude théorique de la notion de symétrie orthogonale du point de vue mathématique et didactique afin d’identifier a priori les contrôles susceptibles d’être mobilisés par les élèves dans la résolution de problèmes de construction et de reconnaissance de figures symétriques. Ceci nous a permis de construire un dispositif expérimental pour étudier la prise de décisions didactiques. Pour réaliser cette étude, nous nous sommes appuyés sur le modèle des niveaux de l’activité des professeurs (Margolinas, 2002). Nous avons ainsi pu identifier quelques éléments sur lesquels les professeurs fondent leurs décisions didactiques. Mots clés : Modélisation de décisions didactiques, Modélisation de connaissances, Modèle cK¢, Conception, Symétrie orthogonale. Abstract This research investigates didactic decisions making. Our main interest is in studying the way teachers make didactic decisions in order to make students progress in learning target knowledge, and the elements that influence these decisions. This led us first to model students’ knowledge related to a given mathematical object, reflection. In the framework of the Theory of Didactic Situations and based on the formalization proposed by cK¢ model (Balacheff, 1995), we have chosen to start modeling students’ conceptions of reflection from the identification of the conceptions control structures. Assuming that the controls account for choice, decision, adequacy and validity of an action, we have realized a theoretical study of the notion of reflection from the mathematical and didactical points of view in order to identify a priori the controls that the students can use in solving problems relating to the construction and the recognition of symmetrical figures. This allowed us to conceive an experiment dedicated to studying didactic decisions making. This study is realized based on the model of the levels of teachers’ activity (Margolinas, 2002). Thus we could identify several elements that support teachers’ didactic decisions. Key words: Modeling of didactic decisions, Modeling of knowledge, Model cK¢, Conception, Reflection Resumo Essa pesquisa se inscreve na problemática do estudo de decisões didáticas. Nosso principal interesse é, portanto, estudar a forma como os professores tomam suas decisões didáticas com o objetivo de levar os alunos a avançarem na aprendizagem de um determinado conhecimento, e, também, os elementos que influenciam essas decisões. Para isto, em um primeiro tempo, se fez necessário modelizar conhecimentos de alunos sobre um objeto matemático, a simetria de reflexão. Utilizando a formalização proposta pelo modelo cK¢ (Balacheff, 1995), desenvolvido no seio da Teoria das Situações Didáticas, fizemos a escolha de iniciar a modelização de concepções de alunos sobre a simetria de reflexão, a partir da identificação das estruturas de controle dessas concepções. Partindo da hipótese que os controles explicitam os critérios que orientam a escolha, a decisão, a adequação e a validade de uma ação, realizamos um estudo teórico da noção de simetria de reflexão, do ponto de vista da matemática e da didática. O objetivo deste estudo foi identificar, a priori, os controles susceptíveis de ser mobilizados pelos alunos na resolução de problemas de construção e de identificação de figuras simétricas. O resultado do estudo teórico e a identificação de controles serviram de base para a construção do dispositivo experimental para estudar as decisões didáticas tomadas pelos professores. Para realizar este estudo, utilizamos o modelo de Níveis da Atividade dos Professores (Margolinas, 2002). A formalização fornecida por este modelo nos permitiu identificar alguns elementos sobre os quais os professores se apoiaram para tomar suas decisões didáticas. Palavras chave: Estudo de decisões didáticas, Modelização de conhecimentos, Modelo cK¢, Concepção, Simetria de reflexão. TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION............................................................................................... 1 PARTIE A : ÉTUDE THÉORIQUE ................................................................. 5 CHAPITRE 1 : VERS LA PROBLÉMATIQUE ............................................. 7 1. NOTION DE MODELE .........................................................................................................11 2. MODELISATION DE CONNAISSANCES ...............................................................................12 2.1. En Psychologie Cognitive .........................................................................................13 2.2. En Didactique des Mathématiques ............................................................................14 2.3. Dans le domaine des EIAH : Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain .............................................................................................................................15 2.4. En géométrie..............................................................................................................18 2.5. Modélisation de connaissances des élèves, relative à la symétrie orthogonale.........19 3. MODELISATION DE DECISIONS DIDACTIQUES ..................................................................19 4. SPECIFICITE DE NOTRE TRAVAIL ET QUESTIONS DE RECHERCHE ..................................20 4.1. Caractérisation des conceptions ................................................................................20 4.2. Évolution des conceptions.........................................................................................23 4.3. Prise de décisions didactiques par les professeurs ....................................................25 CHAPITRE 2 : CADRE THÉORIQUE ET MÉTHODOLOGIE DE RECHERCHE ................................................................................................... 27 1. INTRODUCTION .................................................................................................................29 2. CADRE THEORIQUE ..........................................................................................................29 2.1. Le Modèle cK¢ ..........................................................................................................29 2.2. Le modèle des niveaux de l’activité du professeur ...................................................35 3. METHODOLOGIE DE RECHERCHE ....................................................................................41 3.1. Utilisation du modèle cK¢.........................................................................................41 3.2. Utilisation du modèle des « niveaux de l’activité du professeur »............................42 CHAPITRE 3 : MODÉLISATION DE CONNAISSANCES LA NOTION DE SYMÉTRIE ORTHOGONALE .................................................................. 45 1. INTRODUCTION .................................................................................................................47 2. RESULTATS DES TRAVAUX PRECEDENTS .........................................................................47 2.1. Typologie des procédures de résolution ....................................................................49 2.2. Une typologie de conceptions ...................................................................................50 3. ÉTUDE DE LA NOTION DE SYMETRIE ORTHOGONALE ......................................................51 3.1. Du point de vue de l’enseignement ...........................................................................51 3.1.1. Les orientations des programmes scolaires ........................................................52 3.1.2. Les manuels scolaires......................................................................................... 55 3.2. Du point de vue mathématique et didactique............................................................ 61 3.2.1. L’élément visé par le problème.......................................................................... 62 3.2.2. Nature du problème............................................................................................ 64 3.2.3. Le rôle des variables didactiques ....................................................................... 68 4. CONTROLES INTERVENANT DANS LA RESOLUTION DE PROBLEMES DE CONSTRUCTION ET DE RECONNAISSANCE DE FIGURES SYMETRIQUES .................................................... 72 4.1. Critères de choix et contrôles correspondants .......................................................... 74 4.2. Contrôles relevant d’autres connaissances................................................................ 83 5. PROCEDURES DE CONSTRUCTION DE FIGURES SYMETRIQUES ....................................... 86 5.1. Procédures globales .................................................................................................. 87 5.2. Procédures semi-analytiques..................................................................................... 91 5.3. Procédures analytiques.............................................................................................. 93 6. CONCLUSION .................................................................................................................... 95 CHAPITRE 4 : MODÉLISATION DE DÉCISIONS DIDACTIQUES ...... 97 1. INTRODUCTION ................................................................................................................ 99 2. QUELQUES ELEMENTS DETERMINANTS DANS LA PRISE DE DECISIONS DU PROFESSEUR 99 2.1. Domaine des compétences mathématiques............................................................. 101 2.2. Domaine de la didactique pratique ou pratique de la didactique ............................ 102 2.3. Domaine pédagogique ............................................................................................ 102 3. MODELES DE DECISIONS DIDACTIQUES ......................................................................... 108 3.1. Modèle proposé par Piéron ..................................................................................... 109 3.2. Modèle proposé par Charnay et Mante................................................................... 110 3.3. Modèle proposé par Tahri....................................................................................... 111 3.4. Décisions didactiques dans le cadre du projet BAP : étude d’un exemple concernant la symétrie orthogonale.................................................................................................. 115 4. NOTRE MODELE DE DECISIONS DIDACTIQUES............................................................... 120 PARTIE B : ÉTUDE EXPÉRIMENTALE................................................... 123 CHAPITRE 5 : EXPÉRIMENTATION 1 LES PRODUCTIONS DES ÉLÈVES............................................................................................................ 125 1. INTRODUCTION .............................................................................................................. 127 2. LE PUBLIC ET LE CONTRAT EXPERIMENTAL ................................................................. 127 3. PROBLEMES PROPOSES AUX ELEVES ............................................................................. 128 4. ANALYSE A PRIORI ......................................................................................................... 131 4.1. Problème-flèche ...................................................................................................... 131 4.2. Problème segment-losange ..................................................................................... 135 4.3. Problème-segment................................................................................................... 137 4.4. Problème-maison.....................................................................................................142 5. ANALYSE A POSTERIORI .................................................................................................146 5.1. Analyse quantitative : types de réponses et procédures ..........................................146 5.1.1. Problème-flèche................................................................................................147 5.1.2. Problème segment-losange ...............................................................................149 5.1.3. Problème-segment ............................................................................................150 5.1.4. Problème-maison ..............................................................................................157 5.1.5. Conclusion........................................................................................................163 5.2. Construction et analyse de copies : caractérisation de conceptions ........................166 5.2.1. Copie Anissa.....................................................................................................168 a) Analyse de la production................................................................................................................................168 b) Caractérisation de conceptions ......................................................................................................................177 5.2.2. Copie Béatrice ..................................................................................................179 a) Analyse de la production................................................................................................................................179 b) Caractérisation de conceptions ......................................................................................................................186 5.2.3. Copie Cédric .....................................................................................................188 a) Analyse de la production................................................................................................................................188 b) Caractérisation de conceptions ......................................................................................................................194 5.2.4. Conclusion........................................................................................................195 CHAPITRE 6 : EXPÉRIMENTATION 2 ÉTUDE DE PRISES DE DÉCISIONS DIDACTIQUES......................................................................... 196 1. INTRODUCTION ...............................................................................................................201 2. PUBLIC ET CONTRAT EXPERIMENTAL ...........................................................................201 3. DOSSIER FOURNI AUX PROFESSEURS .............................................................................202 4. INSTANCIATION DU MODELE DE DECISIONS DIDACTIQUES POUR LE CAS D’ANISSA .....207 5. METHODE D’ANALYSE DES PRODUCTIONS DES PROFESSEURS ......................................219 6. ANALYSE DES RESULTATS ..............................................................................................222 6.1. Fiche de l’enseignant...............................................................................................222 6.2. Décisions didactiques pour le cas d'Anissa .............................................................224 6.2.1. Analyse des productions des professeurs .........................................................224 6.2.2. Synthèse des résultats obtenus..........................................................................243 6.3. Décisions didactiques pour le cas de Béatrice.........................................................251 6.3.1. Analyse des productions des professeurs .........................................................251 6.3.2. Synthèse des résultats obtenus..........................................................................263 6.4. Décisions didactiques pour le cas de Cédric ...........................................................270 6.4.1. Analyse des productions des professeurs .........................................................270 6.4.2. Synthèse des résultats obtenus..........................................................................281
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