Analyse et modèles dynamiques non commutatifs sur l\'espace de q-Minkowski - Page 1 - test Tous nos livres sont imprimés dans les règles environnementales les plus strictes Il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement la présente publication sans autorisation du Centre Français d’exploitation du droit de Copie (CFC) – 20 rue des GrandsAugustins – 75006 PARIS – Tél. : 01 44 07 47 70 / Fax : 01 46 34 67 19. © Éditions Edilivre – Collection Universitaire – 2008 Dépôt légal :: Août 2008 ISBN : 978-2-8121-0025-3 Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction, intégrale ou partielle réservés pour tous pays. ´ UNIVERSIT E DE VALENCIENNES ET DU HAINAUT CAMBRESIS ´ LABORATOIRE DE MATH E MATIQUES ET LEURS APPLICATIONS DE VALENCIENNES ` TH E SE pr´ sent´ e en premi` re version en vu d’obtenir le grade de Docteur, sp´ cialit´ e e e e e « Math´ matiques » e par DUTRIAUX Antoine ` ANALYSE ET MOD E LES DYNAMIQUES NON COMMUTATIFS SUR L’ESPACE DE q-MINKOWSKI Th` se soutenue le Vendredi 13 Juin 2008 devant le jury compos´ de : e e M. M. M. M. M. BARRE RAYMOND GOUREVITCH DIMITRI KERNER RICHARD ROUBTSOV VLADIMIR SAPONOV PAVEL UVHC UVHC Universit´ de Pierre et Marie Curie (Paris VI) e Universit´ d’Angers e ´ Institut de la physique des hautes energies (Protvino, Russie) (Directeur de th` se) e (Rapporteur) (Rapporteur) ` A ma famille. R´ sum´ et mots cl´ s e e e R´ sum´ e e Cette th` se se place dans le cadre du vaste domaine s’intitulant g´ om´ trie non commutative, domaine e ee dont l’´ tude est motiv´ e par l’opinion courante des math´ maticiens et physiciens selon laquelle les e e e ˆ m´ thodes de la g´ om´ trie non commutative peuvent etre utiles pour d´ crire certains processus dye ee e `e namiques a l’´ chelle de Planck. Aussi l’objectif principal de cette th` se est de g´ n´ raliser quelques e ee mod` les dynamiques d´ finis sur l’espace de Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d’introduire e e ` ´e des mod` les dynamiques qui seraient covariants par rapport a l’action de groupes quantiques ont et´ e entrepris juste apr` s la cr´ ation de la th´ orie sur les groupes quantiques par Drinfeld. Les mod` les les e e e e plus int´ ressants sont ceux qui sont li´ s au q-analogue de l’espace de Minkowski. C’est P. Kulish qui e e ´ d´ finit cette alg` bre comme etant un cas particulier d’une alg` bre appel´ e modified Reflection Equation e e e e Algebra (mREA) elle-mˆ me li´ e a un op´ rateur appel´ sym´ trie de Hecke. Nous d´ finissons donc cere e` e e e e e e tains mod` les dynamiques qui sont des d´ formations de mod` les classiques, l’espace des phases de nos e mod` les d´ form´ s n’est autre alors que notre espace de q-Minkowski. Nous recherchons par la suite des e e e int´ grales de mouvement de ces dynamiques, ce qui nous am` ne a d´ finir des analogues de l’´ nergie et e e `e e ´ du vecteur de Runge-Lenz. Nous g´ n´ ralisons pour terminer les equations aux d´ riv´ es partielles de la ee ee th´ orie des champs et en particulier l’op´ rateur de Maxwell. e e Mots cl´ s e 1 sym´ trie de Hecke e 2 (modified) Reflection Equation Algebra 3 espace de q-Minkowski 4 Identit´ de Cayley-Hamilton e 5 int´ grales de mouvement e 6 champs de vecteurs tress´ s e 7 op´ rateur de Laplace e 8 op´ rateur de Maxwell e Analysis and Noncommutative Dynamical Models on q-Minkowski Space Algebra Abstract The present thesis deals with the large field of noncommutative geometry. This field is extensively studied because of mathematicians and physicists’ common opinion that noncommutative geometry methods are useful tools to describe dynamical processes at Planck length. So the main purpose of this thesis is to provide a generalization of some dynamical models defined on Minkowski space on its q-analog. Since the creation of the Quantum Group theory by Drinfeld, numerous attempts have been made to introduce dynamical models which are covariant under quantum groups. Most interesting are models built on the qMinkowski space algebra. P. Kulish showed that this algebra is a particular case of the so-called modified Reflection Equation Algebra which is linked to an operator called Hecke symmetry. So we are defining here dynamical models which are deformations of their classical counterparts. Then we are looking for integrals of dynamics, which leads us to define analogs of energy and the Runge-Lenz vector. At the end of this work, we will generalize the partial differential equations of field theory and particularly Maxwell’s operator. Keywords 1 Hecke symmetry 2 (modified) Reflection Equation Algebra 3 q-Minkowski space algebra 4 Cayley-Hamilton identity 5 integrals of dynamics 6 braided vector fields 7 Laplace operator 8 Maxwell operator Adresse du Laboratoire de Math´ matiques et leurs Applications de Valenciennes : e LAMAV UVHC - LAMAV-ISTV2 Mont Houy 59313 Valenciennes cedex 9 Remerciements Je voudrais tout d’abord exprimer mes plus profonds remerciements au professeur GOUREVITCH qui a accept´ d’ˆ tre mon directeur de th` se, en particulier pour l’int´ rˆ t du sujet qu’il m’a propos´ et ee e ee e pour sa tr` s grande disponibilit´ tout au long de ces quatre ann´ es de th` se. Il m’a accompagn´ dans mes e e e e e ´ premiers pas de chercheurs, ses remarques etaient toujours judicieuses et m’ont beaucoup aid´ . e ´ Je remercie egalement les professeurs Raymond BARRE, Richard KERNER, Vladimir ROUBTSOV et Pavel SAPONOV d’avoir accept´ d’ˆ tre membres de mon jury de soutenance, leurs diff´ rentes reee e ´e marques et questions lors de ma soutenance ont toutes et´ pertinentes et int´ ressantes. Je suis partie culi` rement reconnaissant pour la lecture minutieuse des deux rapporteurs Richard KERNER et Pavel e SAPONOV de ce texte qui m’a permis de corriger un certain nombre de coquilles. Je salue tous les membres du laboratoire LAMAV mˆ me si du fait de mon travail d’enseignement e ´ au lyc´ e, j’´ tais un peu eloign´ de la vie du laboratoire, j’ai beaucoup appr´ ci´ les quelques s´ minaires e e e ee e auxquels j’ai pu assist´ quand mon emploi du temps et mon travail de recherche me laissaient un peu de e temps libre. ` Je n’oublie pas mes coll` gues du lyc´ e Pierre Forest a Maubeuge qui ne m’ont pas tous aid´ directee e e ment dans mon travail de recherche mais qui ont particip´ a une ambiance de travail tr` s agr´ able qui e` e e ´e e e e` e m’a et´ tr` s profitable. Je remercie plus particuli` rement les coll` gues d’anglais qui m’ont aid´ a r´ diger e le r´ sum´ en anglais de ce manuscrit et mon coll` gue de francais Pierre SZAJKOWSKI qui a relu mon e e e ¸ manuscrit et corrig´ un nombre non n´ gligeable de fautes d’orthographe et de syntaxe. e e ´ ` Cette th` se marque la fin de mes etudes, aussi je tiens a remercier tous les enseignants qui ont particip´ e e ` ` a ma formation de la maternelle a l’universit´ . Je mesure aujourd’hui avec gratitude la qualit´ de leur e e travail. ` Je tiens pour finir a remercier de tout coeur mes parents qui ont su m’accompagner et m’encourager tout au long de ma scolarit´ , ainsi que mon fr` re St´ phane et ma soeur Claire, leur pr´ sence bienveillante e e e e ´e m’a toujours et´ d’un tr` s grand secours. Qu’ils sachent que sans eux, ce texte n’aurait probablement pas e vu le jour. Maubeuge, le 17 juin 2008. ` TABLE DES MATI E RES ´ ´ ´ R E SUM E ET MOTS CL E S ` TABLE DES MATI E RES INTRODUCTION ´ PR E FACE v viii 1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 10 11 15 16 17 20 20 21 25 26 29 29 29 34 36 36 37 38 38 42 46 46 47 67 71 71 71 74 76 79 79 ´´ ´´ 1 REFLECTION EQUATION ALGEBRA : PROPRI E T E S G E N E RALES 1.1 R-MATRICES DE TYPE DE HECKE ´ (EL E MENTS DE CLASSIFICATION, COLLAGE) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Le tressage R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 L’´ quation de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.3 El´ ments de classification de tressages de Hecke . . . . . . . . . . . . e 1.1.4 Collage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Tressage anti-inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 EL E MENTS DE TECHNIQUES AVEC LES R-MATRICES . . . . . . . . . . ´ ` 1.3 D E FINITION DE L’ALG E BRE REFLECTION EQUATION ALGEBRA (REA) ET MODIFIED REFLECTION EQUATION ALGEBRA (MREA) . . . . . . . ´ ´ ´ 1.4 EL E MENTS DE TH E ORIE DE LA REPR E SENTATION DE MREA . . . . . . 1.4.1 Extensions de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Utilisation d’une structure de big` bre . . . . . . . . . . . . . . . . . e ´ QUATION DE CAYLEY-HAMILTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 L’ E ´ 1.6 sl-R E DUCTION DE REA ET MREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ESPACE DE q-MINKOWSKI ET SON SUPER-ANALOGUE 2.1 ESPACE DE q-MINKOWSKI ET SON SUPER-ANALOGUE 2.1.1 Espace de q-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Le q super-analogue de l’espace de q-Minkowski . . ´ 2.2 L’IDENTIT E DE CAYLEY-HAMILTON . . . . . . . . . . 2.2.1 Le cas L ,q (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le cas L ,q (1|1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 LES CENTRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Le cas L ,q (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Le cas L ,q (1|1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 MODULES DE VERMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 G´ n´ ralit´ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 2.4.2 Le cas L ,q (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Le cas L ,q (1|1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ` ´ MOD E LES DYNAMIQUES NON COMMUTATIFS AVEC SYM E TRIES QUANTIQUES ` 3.1 MOD E LES DYNAMIQUES NON COMMUTATIFS ` DANS UN CHAMP A FORCE CENTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 G´ n´ ralisation des int´ grales de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 3.1.2 Deux cas particuliers de mod` les non commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1.3 Mod` les non commutatifs dans un espace temps dot´ d’une m´ trique admettant une e e e sym´ trie sph´ rique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e ´ 3.2 CHAMPS DE VECTEURS TRESS E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 L’ensemble des champs de vecteurs sur la sph` re classique . . . . . . . . . . . . . . . e ... ... ... ... ´ QUATIONS DE MAXWELL 3.3 MODULES PROJECTIFS ET q-ANALOGUES DES E 3.3.1 Pr´ liminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 L’op´ rateur de Maxwell sur R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.3 L’op´ rateur de Maxwell sur l’espace de Minkowski classique . . . . . . . e 3.3.4 L’op´ rateur de Maxwell sur S 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.5 L’op´ rateur de Maxwell sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.6 Les op´ rateurs de Maxwell sur les alg` bres quantiques . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 L’ensemble des champs de vecteurs sur l’hyperbolo¨de classique . . . ı Analogue tress´ de l’alg` bre de Lie sl(2) . . . . . . . . . . . . . . e e D´ finition des champs de vecteurs tress´ s sur l’hyperbolo¨de quantique e e ı Syst` me quasi-sph´ rique des champs de vecteurs . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 83 84 88 94 94 95 96 97 98 99 103 105 BIBLIOGRAPHIE NOTATIONS Introduction L’objectif principal de cette th` se est de g´ n´ raliser certains mod` les dynamiques d´ finis sur l’espace de e ee e e Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d’introduire des mod` les dynamiques qui seraient covae ` ´e riants par rapport a l’action de groupes quantiques ont et´ entrepris juste apr` s la cr´ ation de la th´ orie e e e sur les groupes quantiques par Drinfeld [Dr]. ˆ Le mod` le le plus simple qui peut etre muni d’une action du groupe quantique Uq (sl(2)) est le e q-analogue de l’oscillateur harmonique. Il est d´ fini par la relation : e qxy − yx = 1 avec q ∈ C. ˆ Les g´ n´ rateurs x et y peuvent etre repr´ sent´ s respectivement par : ee e e x : f (x) −→ xf (x) appel´ op´ rateur de cr´ ation et par : ee e y : f (x) −→ ∂q f (x) = f (qx) − f (x) (q − 1)x (0.0.1) appel´ op´ rateur d’annihilation qui n’est autre que le q-analogue de la d´ riv´ e. ee ee ` En consid´ rant l’analogue ”q-commutatif” de la relation (0.0.1) a savoir : e qxy − yx = 0 ´ nous obtenons le plan de Manin egalement muni d’une action du groupe Uq (sl(2)). En traitant les g´ n´ rateurs x et y comme op´ rateurs de cr´ ation et les d´ riv´ es introduites dans [WZ] comme op´ rateurs ee e e ee e d’annihilation, nous obtenons un q-analogue de l’espace de Fock. Plus int´ ressants sont les mod` les qui sont li´ s au q-analogue de l’espace de Minkowski. e e e ´e e Initialement, l’espace de q-Minkowski a et´ d´ fini comme un espace homog` ne du groupe quantique e de Lorentz par plusieurs auteurs au d´ but des ann´ es 90 (Cf. [LWW] et les r´ f´ rences inclues dans cet e e ee ´ article). Par la suite, P. Kulish et d’autres ont d´ fini l’alg` bre de cet espace comme etant un cas particulier e e d’une alg` bre appel´ e Reflection Equation Algebra (REA) que nous notons Lq (Cf. [Ku], [Me] et [MM]). e e Cette alg` bre est d´ finie grˆ ce a un op´ rateur R appel´ tressage : e e a` e e R : V ⊗2 −→ V ⊗2 o` V est un espace vectoriel de dimension finie n ∈ N sur le corps de base K (= R ou C) v´ rifiant u e l’´ quation de Yang-Baxter : e (R ⊗ I) (I ⊗ R) (R ⊗ I) = (I ⊗ R) (R ⊗ I) (I ⊗ R) o` I est la matrice unit´ . u e Nous utiliserons dans cette th` se des tressages particuliers appel´ es sym´ tries de Hecke qui v´ rifient en e e e e plus l’´ quation de Hecke suivante : e (R − qI) R + q −1 I = 0 1 ´ sachant que le param` tre non nul q ∈ K est consid´ r´ comme etant g´ n´ rique. Cela signifie qu’une e ee ee famille d´ nombrable de valeurs de q est interdite et entre autre que q n’est pas une racine k-i` me de e e ´ ` l’unit´ (k etant un entier naturel sup´ rieur ou egal a 2) ce qui implique que : e´ e ∀k ∈ Z∗ , [k]q := q k − q −k = 0 si q = 1 q − q −1 ´ [k]q etant appel´ nombre quantique. e Nous pouvons alors d´ finir les alg` bres REA associ´ es a une sym´ trie de Hecke R engendr´ es par les n2 e e e` e e j ind´ termin´ es li e e constituant les coefficients de la matrice de taille n × n : L satisfaisant ainsi la relation : 1≤i,j≤n R (L ⊗ I) R (L ⊗ I) − (L ⊗ I) R (L ⊗ I) R = 0. Nous nous int´ ressons en particulier aux alg` bres REA que nous appelons standards d´ finies par des e e e sym´ tries de Hecke Rq particuli` res issues du groupe quantique Uq (sl(n)). Ces sym´ tries de Hecke sont e e e appel´ es tressages de Drinfeld-Jimbo (elles sont aussi appel´ es standards) : e e m m Rq = i,j=1 q δi,j hj ⊗ hi + j i i
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