Fonctions de corrélation des chaînes de spin. Approche de l'ansatz de Bethe alg - Page 1 - test Tous nos livres sont imprimés dans les règles environnementales les plus strictes Il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement la présente publication sans autorisation du Centre Français d’exploitation du droit de Copie (CFC) – 20 rue des GrandsAugustins – 75006 PARIS – Tél. : 01 44 07 47 70 / Fax : 01 46 34 67 19. © Éditions Edilivre – Collection Universitaire – 2008 ISBN : 978-2-35607-661-8 Dépôt légal : Septembre 2008 Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction, intégrale ou partielle réservés pour tous pays. Universit´ de Cergy-Pontoise e M´moire d’Habilitation e Present´ pour obtenir une Habilitation a diriger des recherches e ` Sp´cialit´ : Physique Th´orique e e e Fonctions de corr´lation des chaˆ e ınes de spin. Approche de l’ansatz de Bethe alg´brique. e par Nikolai Kitanine Soutenu le 19 septembre 2007 devant le jury compos´ de : e Jean Avan Philippe Di Francesco Patrick Dorey Michio Jimbo Jean Michel Maillet Jean-Bernard Zuber Rapporteur Rapporteur Rapporteur Pr´sident e Remerciements Une grande majorit´ des r´sultats pr´sent´s dans ce m´moire d’habilitation est le e e e e e fruit d’une longue collaboration avec Jean Michel Maillet, V´ronique Terras et Nikita e Slavnov. Je souhaite aujourd’hui dire combien pour moi cette collaboration a ´t´ - et est ee encore - une source de motivation et de joie et c’est pourquoi je tiens a leur exprimer ` tout particuli`rement ma gratitude. Je remercie ´galement Karol Kozlowski et Giuliano e e Niccoli qui ont rejoints notre ´quipe. e Je suis tr`s reconnaissant ` Messieurs Patrick Dorey, Philippe di Francesco et Michio e a Jimbo pour m’avoir fait l’honneur d’accepter d’ˆtre rapporteurs et je suis heureux que e Jean-Bernard Zuber ait bien voulu pr´sider le jury de cette HDR. e Je remercie le professeur Hung The Diep pour l’accueil que j’ai eu au Laboratoire de Physique Th´orique et Modelisation de l’Universit´ de Cergy-Pontoise. Je suis tr`s recone e e naissant a Jean Avan et Genevi`ve Rollet pour de nombreuses discussions int´ressantes, ` e e pour m’avoir ´norm´ment aid´ ` m’ins´rer au sein de l’Universit´ de Cergy-Pontoise ainsi e e ea e e que pour la relecture de ce manuscrit. Je voudrais exprimer ma gratitude a Claire Pi` nettes, Trong Tuong Truong, Damien Foster, Philippe Lecheminant et tout les membres du LPTM pour l’aide que j’ai re¸ue pendant mes premi`res ann´es ` Cergy-Pontoise. Je c e ea remercie Sylvie Villemin pour sa grande gentillesse, son ´norme comp´tence, son efficacit´ e e e sans faille. Je suis tr`s reconnaissant ` Omar Foda avec qui j’ai eu le plaisir de collaborer r´e a e cemment. Je tiens ` remercier Pascal Baseilhac et Anastasia Doikou pour les discussions a amicales que nous avons eu, elles ont ´t´ une forte motivation pour mon travail. ee Je suis reconnaissant a E. Corrigan, N. MacKay, G. Delius ainsi que tous les membres ` du d´partement de Math´matiques de l’Universit´ de York pour l’accueil que j’y ai re¸u. e e e c J’ai eu la chance de profiter de nombreuses discussions avec M. Jimbo et J. Shiraishi, je les en remercie ici et je tiens ` leur exprimer ma gratitude pour m’avoir accueilli a a ` l’Universit´ de Tokyo entre 2001 et 2003 et pour leur hospitalit´ r´currente depuis. e ee Je voudrais ´galement remercier le laboratoire de Physique de l’ENS de Lyon pour e avoir rendu ais´e ma collaboration avec J.M. Maillet, V. Terras et K. Kozlowski. Les e diff´rentes parties du travail pr´sent´ dans ce m´moire ont ´t´ soutenues par UK ESPRC e e e e ee Grant GR/M 73231, JSPS grant P01177, projet ANR MIB-05 JC05-52749, projet ANR GIMP ANR-05-BLAN-0029-01. Je remercie enfin Yulia ainsi que ma famille ` St. P´tersbourg pour leur ind´fectible a e e soutien. 1 Table des mati`res e 1 Introduction 5 19 2 Chaˆ de spin 1 XXZ ıne 2 2.1 D´finition du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 e e 2.2 Ansatz de Bethe Alg´brique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e 2.3 Etat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Blocs ´l´mentaires ee 3.1 Probl`me inverse . . . . . . . . . e 3.2 Produits scalaires . . . . . . . . . 3.2.1 Fonction de partition . . . 3.2.2 Produits scalaires . . . . . 3.2.3 Normes des ´tats de Bethe e 3.3 Blocs ´l´mentaires . . . . . . . . ee 3.4 Probabilit´ de formation du vide e 3.4.1 Analyse asymptotique . . 3.4.2 Δ = 1 . . . . . . . . . . . 2 27 28 29 29 30 31 31 36 37 37 41 42 43 45 47 47 48 50 52 55 55 58 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fonctions a deux points ` 4.1 Fonctionnelle g´n´ratrice . . . . . . . ee 4.1.1 M´thode I . . . . . . . . . . . e 4.1.2 M´thode II . . . . . . . . . . e 4.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Fermions libres . . . . . . . . 4.2.2 Δ = 1 . . . . . . . . . . . . . 2 4.3 Equation master . . . . . . . . . . . 4.4 Fonctions a deux points dynamiques ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chaˆ XXX de spin s ıne 5.1 Ansatz de Bethe Alg´brique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Probl`me inverse et produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3 Blocs ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 3 3 6 Chaˆ ınes de spin ouvertes 6.1 Etats propres . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Equation de r´flexion . . . . . . . . e 6.1.2 Etat fondamental . . . . . . . . . . 6.2 Probl`me inverse . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.1 Propri´t´s des ´tats |ψ± ({λ}) . . . ee e 6.2.2 Probl`me inverse, forme alternative e 6.2.3 Action des op´rateurs locaux . . . e 6.3 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Fonction de partition . . . . . . . . 6.3.2 Produits scalaires . . . . . . . . . . 6.4 Blocs ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . ee 7 Conclusion et Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 64 64 68 70 70 72 73 74 74 75 76 79 4 Chapitre 1 Introduction Ce m´moire d’habilitation est consacr´ enti`rement aux chaˆnes de spin quantiques, e e e ı mod`les unidimensionnels ´tudi´s depuis presque 80 ans. Il s’agit des mod`les des pare e e e ticules de spin 1 (ou plus g´n´ralement de spin s) situ´es sur les sites d’un r´seau qui ee e e 2 interagissent avec leurs voisins les plus proches. Introduites initialement par Heisenberg [57] en 1928 comme une tentative d’´laborer une th´orie pour la transition ferromagn´e e e tique, les chaˆ ınes de spin apparaissent aujourd’hui dans les domaines de la physique et des math´matiques si diff´rents qu’on les appelle parfois « l’oscillateur harmonique du XXI e e si`cle ». Il existe aujourd’hui des applications directes de ces mod`les en physique de la e e mati`re condens´e, en optique quantique, en physique de particules, en th´ories de jauges e e e et mˆme en th´orie des cordes. Les mod`les ` vertex ´troitement reli´s aux chaˆ e e e a e e ınes de spin (et ´tudi´s exactement de la mˆme fa¸on) jouent un rˆle tr`s important en physique e e e c o e statistique en 2 dimensions. Toutes les th´ories des champs int´grables en 1+1 dimensions e e peuvent ˆtre li´es d’une fa¸on ou d’une autre aux chaˆ e e c ınes de spin et on utilise parfois pour ´tudier ces th´ories les m´thodes initialement introduites pour les chaˆ e e e ınes de spin. Des domaines entiers des math´matiques, en particulier la th´orie des groupes quantiques, ont e e ´t´ initi´s par l’´tude de ces mod`les, tandis que les techniques introduites pour les chaˆ ee e e e ınes de spin sont utilis´es aujourd’hui en th´orie des noeuds, th´orie des groupes, combinatoire, e e e g´om´trie alg´brique etc. Il y a plusieurs raisons pour cette omnipr´sence des chaˆ ee e e ınes de spin et nous n’en mentionnons que quelques unes : 1. Ce sont des mod`les formul´s de fa¸on tr`s simple. e e c e 2. Ils sont profond´ment non-triviaux. e 3. Ils sont exactement solubles ou int´grables, il est possible d’en obtenir le spectre et e les ´tats propres d’une fa¸on exacte. e c 4. Parmis les mod`les exactement solubles (int´grables) ce sont les plus fondamentaux, e e on peut obtenir des r´sultats pour les autres syst`mes en utilisant les r´sultats pour e e e les chaˆ ınes de spin. Dans ce m´moire nous discutons le probl`me du calcul des fonctions de corr´lation pour e e e les chaˆ ınes de spin. C’est un probl`me central pour toutes les applications physiques e mais aussi pour la compr´hension des structures math´matiques profondes, qui se cachent e e derri`re l’int´grabilit´. e e e 5 5 Pour expliquer l’importance et la difficult´ du probl`me nous commen¸ons ici par une e e c br`ve histoire de ces mod`les et des certains sujets adjacents qui se sont r´v´l´s (parfois e e e ee d’une fa¸on tout a fait inattendue) tr`s importants pour l’´tude des chaˆ c ` e e ınes de spin et pour le calcul des fonctions de corr´lation. e – Les ann´es 20, le d´but. Nous avons d´j` mentionn´ que pour la premi`re fois une e e ea e e chaˆ de spin quantique (la chaˆ isotrope XXX) a ´t´ introduite par Heisenberg ıne ıne ee en 1928. Mais ici nous pensons qu’il faut commencer quelques ann´es plus tˆt par e o l’introduction du mod`le d’Ising. Bien que ce ne soit pas un mod`le de spin quantique e e l’´tude de ce mod`le a eu une contribution tr`s importante pour les solutions exactes e e e en g´n´ral. E. Ising a introduit son mod`le en 1925 [59]. Ensuite il a ´tudi´ le cas ee e e e unidimensionnel et il a montr´ qu’il n’y a pas de transition ferromagn´tique. A partir e e de ce r´sultat il a fait une conclusion (qui s’est r´v´l´ fausse 20 ans plus tard) qu’il e e ee n’existe pas de transition de phase dans les mod`les d’Ising en 2 et 3 dimensions. e Paradoxalement cette conclusion fausse a pouss´ Heisenberg ` chercher un mod`le e a e quantique qui pouvait d´crire la transition ferromagn´tique et a introduire la chaˆ e e ` ıne de spin XXX [57]. C’est aussi la raison pour laquelle la solution pour le mod`le de e Heisenberg (par ailleurs bien plus compliqu´e que celle pour Ising) a ´t´ construite e ee plus tˆt. o – Les ann´es 30, l’ansatz de Bethe. La solution par H. Bethe du mod`le de Heie e senberg p´riodique en 1931 [18] reste l’evenment le plus important dans l’histoire e des mod`les int´grables. Les ´tats propres de la chaˆ e e e ınes XXX ont ´t´ construits ee en termes des quasi-particules (spinons) dont les rapidit´s satisfont ` un syst`me e a e d’´quations alg´briques (´quations de Bethe). En utilisant cette construction L. e e e Hulth´n [58] a calcul´ l’´nergie exacte de l’´tat fondamental pour la chaˆne XXX e ee e ı antiferromagn´tique. Cette technique (appel´e aujourd’hui l’ansatz de Bethe) est e e devenue plus tard l’outil principal pour construire le spectre de plusieurs mod`les e quantiques unidimensionnels (continus et sur r´seau) et de certains mod`les en phye e sique statistique classique en 2 dimension. Les nombreuses m´thodes propos´es dans e e la suite portent toujours le nom d’ansatz de Bethe (alg´brique, fonctionnel, analye tique etc) car elles ram`nent toujours aux ´quations du mˆme type pour les rapidit´s e e e e des quasi-particules. – Les ann´es 40 et 50, L. Onsager et la matrice de transfert. Les ann´es 40 et e e 50 ont ´t´ marqu´es par le retour du mod`le d’Ising. La solution pour le mod`le ee e e e d’Ising en 2 dimensions propos´e par L. Onsager en 1942 et publi´e 2 ans plus tard e e [134] a jou´ un rˆle aussi important que l’ansatz de Bethe pour l’´tude des mod`les e o e e solubles exactement. Onsager a d´montr´ que la conclusion d’Ising ´tait fausse, il e e e a calcul´ la temperature de transition de phase (conjectur´e par H.A. Kramers et e e G.H. Wannier [107] en 1941) mais ce sont surtout les moyens qu’il a utilis´ qui sont e les plus important pour nous ici. Pour obtenir sa solution exacte il a introduit la matrice de transfert, un objet qui joue depuis le rˆle central dans l’´tude des mod`les o e e en 2 dimensions. Il faut mentionner ´galement que la relation « etoile-triangle » qui e est ` l’origine de l’´quation de Yang-Baxter a ´t´ utilis´e pour la premi`re fois dans a e ee e e cet article. Cette approche (ainsi que ses versions plus simples introduites par B. 6 Kaufman [84] et par G. Newell et E. Montroll [133]) est a l’origine de toutes les ` m´thodes alg´briques en physique statistique ` 2 dimensions. e e a Pour l’ansatz de Bethe il n’y avait pas de d´veloppements aussi spectaculaires ` e a cette ´poque mais a la fin des ann´es 50 les premi`res g´n´ralisation de la m´thode e ` e e ee e de Bethe pour d’autres mod`les que la chaˆ XXX ont ´t´ introduites. Entre autres e ıne ee la chaˆ de spin anisotrope XXZ (qui est l’objet central de ce m´moire) a ´t´ r´solue ıne e ee e par R. Orbach [135, 166] par l’ansatz de Bethe. – Les ann´es 60, l’explosion. Une v´ritable explosion d’int´rˆt pour les solutions e e ee exactes se produit au d´but des ann´es 60. Premi`rement l’ansatz de Bethe a ´t´ e e e ee g´n´ralis´ pour plusieurs mod`les tr`s diff´rents y compris pour des th´ories des ee e e e e e champs unidimensionnelles. Les solutions par la m´thode de Bethe du mod`le de e e gaz de Bose en 1 dimension par E. Lieb et W. Liniger [122, 121] et du mod`le de e Hubbard par E. Lieb and F.Y. Wu [120] ont montr´ que l’ansatz de Bethe est une e m´thode tr`s g´n´rale, applicable pour des mod`les tr`s diff´rents, continus et sur e e ee e e e r´seau, parfois tr`s importants en physique de la mati`re condens´e (mod`le de Hube e e e e bard, effet Kondo etc). Une autre application de l’ansatz de Bethe a ´t´ propos´s aussi par E. Lieb [118] ee e et de fa¸on ind´pendante dans un cas plus g´n´ral par B. Sutherland [156] pour c e ee r´soudre le mod`le ` 6 vertex. Cette solution a fourni un lien pour la premi`re fois e ea e entre la m´thode de matrice de transfert et l’ansatz de Bethe (la technique de Bethe e a ´t´ appliqu´e pour d´crire les ´tats propres de la matrice de transfert du mod`le ee e e e e a ` 6 vertex), lien qui a jou´ le rˆle central pour le d´veloppement des m´thodes plus e o e e alg´briques de r´solution des chaˆ e e ınes de spin. Lieb et Sutherland ont aussi remarqu´ que les ´quations de Bethe pour le mod`le ` 6 vertex sont les mˆmes que pour e e ea e la chaˆ XXZ et que la solution qui correspond ` l’´tat fondamental est aussi la ıne ae mˆme, en ´tablissant ainsi pour la premi`re fois un lien entre les chaˆ e e e ınes de spin et les mod`les ` vertex. ea Par ailleur l’analyse des ´quations de Bethe pour la chaˆ XXZ effectu´ par C.N. e ıne e Yang et C.P. Yang [172, 174] a permis d’identifier l’´tat fondamental dans les deux e r´gimes non-triviaux du mod`le : le r´gime antiferromagn´tique massif et le r´gime e e e e e de masse nulle (ou desordonn´). Cette analyse reste toujours fondamentale pour e tous les r´sultats concernant les chaˆ e ınes de spin dans la limite thermodynamique. C’est aussi dans les ann´es 60 que les premiers r´sultats pour les fonctions de corr´e e e lation des chaˆ ınes de spin ont ´t´ obtenus. En 1961 E. Lieb, T. Schultz et D. Mattis ee [119] ont consid´r´ pour la premi`re fois la chaˆ XY. Ils ont montr´ qu’en utilisant ee e ıne e la transformation de Jordan-Wigner il est possible de r´´crire le Hamiltonien de ce ee mod`le en termes de fermions libres avec des conditions aux bords tr`s particuli`res. e e e Cela leur a permis d’obtenir des repr´sentations pour les fonctions a deux points e ` en termes de d´terminants de T¨plitz. Cette approche a ´t´ g´n´ralis´e pour les e o ee e e e fonction de corr´lation d´pendant du temps ou de la temperature par B. McCoy et e e ses collaborateurs [128, 8, 129]. Des r´sultats du mˆme type ont ´t´ obtenu ´galee e ee e ment pour le mod`le d’ Ising en 2 dimensions par T.T. Wu et B. McCoy, [170, 130]. e Ces repr´sentations restaient les seuls r´sultats pour les fonctions de corr´lation des e e e chaˆ ınes de spin pendant plus de 20 ans. Malheureusement cette m´thode marche e 7 uniquement dans les cas ´quivalents aux fermions libres (mod`le XY ou XX0) et e e n’est pas g´n´ralisable pour les situations plus g´n´rales comme la chaˆ XXZ. ee ee ıne Pour les autres mod`les solubles par l’ansatz de Bethe la situation a ´t´ similaire : il e ee ´tait possible de calculer les fonctions de corr´lation aux points de fermions libres, e e mais pas de r´sultats en dehors de ces points. Par exemple pour le point de fermions e libres du mod`le de gaz de Bose (mod`le de bosons imp´n´trables, limite de couplage e e ee infini) les fonctions ` deux points les plus simples ont ´t´ calcul´es par A. Lenard a ee e [116, 117]. Il est remarquable que ces repr´sentations sont bien diff´rentes de celles e e de E. Lieb et B. McCoy, car au lieu de d´terminants de T¨plitz, A. Lenard a obtenu e o des d´terminants de Fredholm. e Parmis les grands r´sultats de cette d´cennie dans le domaine des solutions exactes e e nous voudrons souligner l’un sur lequel sont bas´es toutes les m´thodes alg´briques e e e d´velopp´es plus tard. C’est en 1967 que C.N. Yang [173] a ´crit pour la premi`re e e e e fois de fa¸on explicite l’´quation que l’on appelle aujourd’hui l’´quation de Yangc e e Baxter et l’a utilis´e pour la solution du mod`le de gaz de Bose unidimensionnel. e e Une autre direction de recherche a priori totalement diff´rente a ´t´ initi´e ` la fin e ee ea des ann´es 60 : il s’agit de la m´thode de diffusion inverse classique pour r´soudre les e e e ´quations non-lin´aires en d´riv´es partielles (comme celle de Korteweg - De Vries) e e ee propos´e par C. Gardner, J. Greene, M. Kruskal et R. Miura [51]. En 1968 P. Lax e [114] a propos´ une construction (la paire de Lax) qui permettait de formuler cette e m´thode d’une mani`re tr`s ´l´gante et d’´tudier les solutions solitoniques de l’´quae e e ee e e tion de Korteweg-De Vries. Le lien entre cette approche et les solutions exactes pour des mod`les quantiques n’a ´t´ ´lucid´ que 11 ans plus tard. e eee e – Les ann´es 70, du mod`le ` 8 vertex ` l’ansatz de Bethe alg´brique Au d´e ea a e e but des ann´es 70 l’´quation de Yang-Baxter apparaˆt a nouveau dans un contexte e e ı` diff´rent. R. Baxter [10, 11] l’a propos´e sous une forme un peu diff´rente pour r´e e e e soudre le mod`le ` 8 vertex. Il a ´galement introduit l’op´rateur Q, un autre objet ea e e fondamental en th´orie des mod`les int´grables quantiques qui est a l’origine des e e e ` ´quations de Bethe. Baxter a ´galement d´montr´ que ce mod`le (le plus g´n´ral e e e e e ee parmi les mod`les ` vertex) est li´ avec la chaˆ de spin la plus g´n´rale XYZ. e a e ıne ee Cette solution a ´t´ utilis´e par J. Johnson, S. Krinsky and B. McCoy [81] pour ee e ´tudier le spectre d’excitations de la chaˆ de spin XYZ. Ainsi toutes les chaˆ e ıne ınes 1 de spin 2 p´riodiques ont ´t´ r´solues par l’ansatz de Bethe (bien sˆr, Baxter a e ee e u introduit une modification de la m´thode de Bethe tr`s compliqu´e pour la chaˆ e e e ıne XYZ, mais ` la fin les rapidit´s des quasi-particules sont toujours donn´es par les a e e ´quations du mˆme type). En ´tudiant le mod`le ` 8 vertex R. Baxter a propos´ e e e ea e plusieurs m´thodes tr`s originales pour calculer la fonction de partition, l’´nergie e e e libre et l’aimantation spontan´e [14]. Nous mentionnons ici la technique de matrice e de transfert de coin [12, 13], car elle joue un rˆle central pour l’une des approches o de calcul des fonctions de corr´lation pour les chaˆ e ınes de spin. Parall`lement la m´thode de diffusion inverse classique a ´t´ rapidement d´velopp´e e e ee e e pendant les ann´es 70. La m´thode de paire de Lax a ´t´ appliqu´e pour l’´quation e e ee e e de Schr¨dinger non-lin´aire [176], pour l’´quation de sine-Gordon [159, 177], pour la o e e chaˆ de Heisenberg classique [161] et pour plusieurs autres ´quations [1, 2] (nous ıne e 8 citons ici uniquement les mod`les les plus importants dans le cas quantique). En e 1971 Zakharov et Faddeev [175] ont montr´ que la possibilit´ de r´soudre l’´quation e e e e de Korteweg - De Vries en utilisant la paire de Lax signifie que c’est un syst`me hae miltonien int´grable (ils ont construit l’ensemble complet des variables action-angle e pour cette ´quation). Les quantit´s conserv´es (y compris le Hamiltonien) ont ´t´ e e e ee obtenues comme les d´riv´es logarithmiques de la trace de la matrice de diffusion ee (les identit´s de trace). Cette m´thode hamiltonienne pour la th´orie des solitons e e e est expliqu´e en d´tail dans le livre [45]. e e En 1979 L. Faddeev, E. Sklyanin et L. Takhtadjan [47] ont remarqu´ une similarit´ e e entre les identit´s de trace pour les mod`les int´grables classiques et les identit´s e e e e quantiques entre les matrices de transfert pour les mod`les ` vertex et les Hamilea toniens des chaˆ ınes de spin. Ils ont propos´ d’introduire la version quantique de e l’op´rateur de Lax (l’op´rateur L) et a partir de cet op´rateur de construire la mae e ` e trice de monodromie (version quantique de la matrice de diffusion) et la matrice de transfert (trace de la matrice de monodromie dans l’espace auxiliaire). Les relations de commutation entre les op´rateurs de Lax quantiques sont ´crites en terme d’une e e solution de l’´quation de Yang-Baxter (matrice R). Les identit´s de trace quantiques e e donnent ainsi les quantit´s conserv´es (et c’est la raison pour laquelle on parle des e e « mod`les int´grables quantiques »), tandis que les ´l´ments non-diagonaux de la e e ee matrice de monodromie sont utilis´s comme les op´rateurs de cr´ation et d’annihilae e e tion des ´tats propres. Ainsi la m´thode de diffusion inverse classique et la m´thode e e e de matrice de transfert ont ´t´ utilis´es pour construire une approche alg´brique ee e e aux syst`mes int´grables quantiques unidimensionnels (m´thode de diffusion inverse e e e quantique). Les ´tats propres sont d´crits ` nouveau en termes de quasi-particules e e a dont les rapidit´s satisfont toujours aux ´quations de Bethe (pour cette raison on e e appelle cette m´thode aussi l’ansatz de Bethe alg´brique). Cette m´thode a donn´ e e e e un cadre tr`s g´n´ral pour d´crire les mod`les int´grables quantiques [46]. Etant e ee e e e applicable a tous les mod`les qui avaient ´t´ r´solus par l’ansatz de Bethe habituel ` e ee e [148, 111, 158], la m´thode de diffusion inverse quantiques a ouvert la porte a des e ` nombreuses g´n´ralisations. Notons aussi que dans le cadre de cette approche les ee chaˆ ınes de spin se sont r´v´l´es comme les mod`les int´grables les plus fondamene ee e e taux. Parmis les principaux r´sultats des ann´es 70 il faut mentionner ´galement une autre e e e m´thode d’´tude des th´ories de champs int´grables (´troitement li´e ` l’ansatz de e e e e e ea Bethe alg´brique). Il s’agit de l’approche de la matrice S factoris´e [179] propos´e e e e par A. Zamolodchikov et Al. Zamolodchikov plus ou moins au moment o` la m´u e thode de diffusion inverse quantique ´tait d´velopp´e par l’´cole de Faddeev. Cette e e e e m´thode ´tait a l’origine des techniques « bootstrap » [83, 82] de calcul des facteurs e e ` de forme des th´ories des champs int´grables. e e C’est ´galement a la fin des ann´es 70 qu’une m´thode qui donne une possibilit´ e e e e d’´tudier le comportement asymptotique des fonctions de corr´lation aux points de e e fermions libres a ´t´ ´labor´e. En 1976 T.T. Wu, B. McCoy, C.A. Tracy and E. Baeee e rouch [171] ont montr´ que les fonctions de corr´lations du mod`le d’Ising satisfont e e e aux ´quations de Painlev´. En 1977 M. Jimbo, T. Miwa et M. Sato [145, 146] ont e e 9
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